Matematica discreta Esempi

$f (x) = \frac{1}{x^{5}}$

Passaggio 1

Scrivi $f (x) = \frac{1}{x^{5}}$ come un'equazione.

$y = \frac{1}{x^{5}}$

Passaggio 2

Scambia le variabili.

$x = \frac{1}{y^{5}}$

Passaggio 3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{1}{y^{5}} = x$ .

$\frac{1}{y^{5}} = x$

Passaggio 3.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$y^{5}, 1$

Passaggio 3.2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$y^{5}$

Passaggio 3.3

Moltiplica per $y^{5}$ ciascun termine in $\frac{1}{y^{5}} = x$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{1}{y^{5}} = x$ per $y^{5}$ .

$\frac{1}{y^{5}} y^{5} = x y^{5}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $y^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{y^{5}} y^{5} = x y^{5}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = x y^{5}$

Passaggio 3.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'equazione come $x y^{5} = 1$ .

$x y^{5} = 1$

Passaggio 3.4.2

Dividi per $x$ ciascun termine in $x y^{5} = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Dividi per $x$ ciascun termine in $x y^{5} = 1$ .

$\frac{x y^{5}}{x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y^{5}}{x} = \frac{1}{x}$

Passaggio 3.4.2.2.1.2

Dividi $y^{5}$ per $1$ .

$y^{5} = \frac{1}{x}$

Passaggio 3.4.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$y = \sqrt[5]{\frac{1}{x}}$

Passaggio 3.4.4

Semplifica $\sqrt[5]{\frac{1}{x}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.1

Riscrivi $\sqrt[5]{\frac{1}{x}}$ come $\frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{x}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{1}}{\sqrt[5]{x}}$

Passaggio 3.4.4.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$y = \frac{1}{\sqrt[5]{x}}$

Passaggio 3.4.4.3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt[5]{x}}$ per $\frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{4}}$ .

$y = \frac{1}{\sqrt[5]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{4}}$

Passaggio 3.4.4.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt[5]{x}}$ per $\frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{4}}$ .

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{\sqrt[5]{x} {\sqrt[5]{x}}^{4}}$

Passaggio 3.4.4.4.2

Eleva $\sqrt[5]{x}$ alla potenza di $1$ .

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{1} {\sqrt[5]{x}}^{4}}$

Passaggio 3.4.4.4.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{1 + 4}}$

Passaggio 3.4.4.4.4

Somma $1$ e $4$ .

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{\sqrt[5]{x}}^{5}}$

Passaggio 3.4.4.4.5

Riscrivi ${\sqrt[5]{x}}^{5}$ come $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[5]{x}$ come $x^{\frac{1}{5}}$ .

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{{(x^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Passaggio 3.4.4.4.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{x^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Passaggio 3.4.4.4.5.3

$\frac{1}{5}$ e $5$ .

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{x^{\frac{5}{5}}}$

Passaggio 3.4.4.4.5.4

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.4.4.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{x^{\frac{5}{5}}}$

Passaggio 3.4.4.4.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{x^{1}}$

Passaggio 3.4.4.4.5.5

Semplifica.

$y = \frac{{\sqrt[5]{x}}^{4}}{x}$

Passaggio 3.4.4.5

Riscrivi ${\sqrt[5]{x}}^{4}$ come $\sqrt[5]{x^{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$

Passaggio 4

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$

Passaggio 5

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1}{x^{5}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 5.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 5.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \frac{\sqrt[5]{{(\frac{1}{x^{5}})}^{4}}}{\frac{1}{x^{5}}}$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{{(\frac{1}{x^{5}})}^{4}} x^{5}$

Passaggio 5.2.4

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{x^{5}}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1^{4}}{{(x^{5})}^{4}}} x^{5}$

Passaggio 5.2.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1}{{(x^{5})}^{4}}} x^{5}$

Passaggio 5.2.6

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{5})}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1}{x^{5 \cdot 4}}} x^{5}$

Passaggio 5.2.6.2

Moltiplica $5$ per $4$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1}{x^{20}}} x^{5}$

Passaggio 5.2.7

Riscrivi $1$ come $1^{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1^{5}}{x^{20}}} x^{5}$

Passaggio 5.2.8

Riscrivi $x^{20}$ come ${(x^{4})}^{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{\frac{1^{5}}{{(x^{4})}^{5}}} x^{5}$

Passaggio 5.2.9

Riscrivi $\frac{1^{5}}{{(x^{4})}^{5}}$ come ${(\frac{1}{x^{4}})}^{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \sqrt[5]{{(\frac{1}{x^{4}})}^{5}} x^{5}$

Passaggio 5.2.10

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \frac{1}{x^{4}} \cdot x^{5}$

Passaggio 5.2.11

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.11.1

Scomponi $x^{4}$ da $x^{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \frac{1}{x^{4}} \cdot (x^{4} x)$

Passaggio 5.2.11.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = \frac{1}{x^{4}} \cdot (x^{4} x)$

Passaggio 5.2.11.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{1}{x^{5}}) = x$

Passaggio 5.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

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Passaggio 5.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 5.3.2

Calcola $f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{{(\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x})}^{5}}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{{\sqrt[5]{x^{4}}}^{5}}{x^{5}}}$

Passaggio 5.3.3.2

Riscrivi ${\sqrt[5]{x^{4}}}^{5}$ come $x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[5]{x^{4}}$ come $x^{\frac{4}{5}}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{{(x^{\frac{4}{5}})}^{5}}{x^{5}}}$

Passaggio 5.3.3.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{4}{5} \cdot 5}}{x^{5}}}$

Passaggio 5.3.3.2.3

$\frac{4}{5}$ e $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{4 \cdot 5}{5}}}{x^{5}}}$

Passaggio 5.3.3.2.4

Moltiplica $4$ per $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{20}{5}}}{x^{5}}}$

Passaggio 5.3.3.2.5

Elimina il fattore comune di $20$ e $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.5.1

Scomponi $5$ da $20$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{5 \cdot 4}{5}}}{x^{5}}}$

Passaggio 5.3.3.2.5.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.2.5.2.1

Scomponi $5$ da $5$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{5 \cdot 4}{5 (1)}}}{x^{5}}}$

Passaggio 5.3.3.2.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{5 \cdot 4}{5 \cdot 1}}}{x^{5}}}$

Passaggio 5.3.3.2.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{\frac{4}{1}}}{x^{5}}}$

Passaggio 5.3.3.2.5.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{4}}{x^{5}}}$

Passaggio 5.3.3.3

Elimina il fattore comune di $x^{4}$ e $x^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.1

Moltiplica per $1$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{4} \cdot 1}{x^{5}}}$

Passaggio 5.3.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.3.2.1

Scomponi $x^{4}$ da $x^{5}$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{4} \cdot 1}{x^{4} x}}$

Passaggio 5.3.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{x^{4} \cdot 1}{x^{4} x}}$

Passaggio 5.3.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Passaggio 5.3.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = 1 x$

Passaggio 5.3.5

Moltiplica $x$ per $1$ .

$f (\frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}) = x$

Passaggio 5.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{1}{x^{5}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{x^{4}}}{x}$